從平面α外一點(diǎn)P向平面α引垂線PO與斜線PA、PB，垂足為A、B．
（1）若∠APB=60°，PA、PB分別和α成30°、45°角，求cos∠AOB的值；
（2）若PA、PB和平面α所成角的差為45°，且AO=2，BO=12，求PO的長(zhǎng)；
（3）若PA：PB=2：3，PA、PB與α所成的角之比依次為2：1，求PB與α所成角的正弦值．
分析：（1）利用∠APB=60°，在△PAB中，可求AB，進(jìn)而在△OAB中，求cos∠AOB的值；
 （2）由題意，設(shè)∠PBO=α，則∠PAO=45°+α，從而PO=2tan（α+45°）=12tanα，故可求tanα，進(jìn)而可求PO的長(zhǎng)；
（3）利用若PA：PB=2：3，PA、PB與α所成的角之比依次為2：1，設(shè)PA=2a，PB=3a，∠PBO=β，則∠PAO=2β，從而由2asin2β=3asinβ，故可求PB與α所成角的正弦值．
解答：解：（1）設(shè)PO=x，則有PA=2x，OA=
3
x，OB=x，PB=
2
x
在△PAB中，AB2=(6-2
2
)x2
在△OAB中，cos∠AOB=
(2
2
-2)x2
2
3
x2
=
6
-
3
3
；
（2）由題意，設(shè)∠PBO=α，則∠PAO=45°+α
∴PO=2tan（α+45°）=12tanα，
∴tanα=
1
2
或tanα=
1
3

∴P0=6或4；
（3）設(shè)PA=2a，PB=3a，∠PBO=β，則∠PAO=2β
∴2asin2β=3asinβ 
∴cosβ=
3
4

∴sinβ=
7
4
點(diǎn)評(píng)：本題以線面角為載體，考查點(diǎn)面距離，考查余弦定理，關(guān)鍵是理解線面角．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）過一點(diǎn)向平面引垂線，________叫做這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影；當(dāng)這一點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，該點(diǎn)在平面上的射影就是它______；這一點(diǎn)與_______的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的_______.如圖所示，直線PQ⊥α,Q∈α,則點(diǎn)Q是______在平面α內(nèi)的_____，線段_______是點(diǎn)_______到平面α的______.?

（2）一條直線和一個(gè)平面相交，但不______時(shí)，這條直線就叫做這個(gè)平面的_______，斜線與平面的交點(diǎn)叫做_____.從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，這點(diǎn)與________間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的_______.如圖所示，直線PR∩α=R,PR不______于α,直線PR是α的一條_____，點(diǎn)R為_______，線段_____是點(diǎn)P到α的______.?

（3）平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段______條，而這點(diǎn)到這個(gè)平面的______有無數(shù)條.?

（4）從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的_______，________與________間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的________.如圖所示，直線_____是直線PR在平面α上的______，線段______是點(diǎn)P到平面α的斜線段PR在平面α上的射影.?

（5）斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的_____上.事實(shí)上，設(shè)a是平面α的斜線，B為斜足，在a上任取一點(diǎn)A，作AA1⊥α,A1是垂足，則A1、B確定的直線a′是a在平面α內(nèi)的______，如圖所示，設(shè)P是a上任意一點(diǎn)，在a和AA1確定的平面內(nèi)，作PP1∥AA1,PP1必與a′相交于一點(diǎn)P1.∵AA1α__________ ,PP1______________AA1，∴PP1__________α.P1為P在平面α上的射影，所以點(diǎn)P在平面α上的射影一定在直線a在平面α上的射影a′上.

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