Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁+a₃=10，S₄=24．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n=2n+1．
（2）由S_n=

n(a1+an)

2

=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜

3

4

．

解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁+a₃=10，S₄=24，
∴

2a1+2d=10 4a1+ 4×3 2 d=24

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）證明：由（1）得S_n=

n(a1+an)

2

=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]…（10分）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)…（12分）
＜

3

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時(shí)要裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．