Question

若不等式x²-2mx+2m+1＞0對(duì)0≤x≤1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先對(duì)提議進(jìn)行轉(zhuǎn)換，考慮二次函數(shù)的對(duì)稱軸和已知區(qū)間之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后求出參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2mx+2m+1
所以函數(shù)是開口方向向上，對(duì)稱軸為x=m的拋物線．
由于f（x）=x²-2mx+2m+1在0≤x≤1的所有實(shí)數(shù)x對(duì)f（x）＞0都成立，
所以①當(dāng)m＜0時(shí)，只需f（0）＞0成立即可．
即：2m+1＞0
解得：m＞-

1

2

所以：-

1

2

＜m＜0
②當(dāng)0≤m≤1時(shí)，只需滿足f（m）＞0即可．
即：m²-2m²+2m+1＞0
解得：1-

2

≤m≤1+

2

所以：0≤m≤1
③當(dāng)m＞1時(shí)，只需滿足f（1）＞0即可．
即：2＞0恒成立
所以：m＞1
綜上所述：m的取值范圍為：m＞-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：一元二次不等式和二次函數(shù)之間的關(guān)系，分類討論問(wèn)題在題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．