Question

已知圓C：x²＋(y－3)²＝4，一動(dòng)直線l過(guò)A(－1，0)與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，

M是PQ中點(diǎn)，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過(guò)圓心C；
(2)當(dāng)PQ＝2時(shí)，求直線l的方程；
(3)探索·是否與直線l的傾斜角有關(guān)？若無(wú)關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）x＝－1或4x－3y＋4＝0.（3）－5

(1)證明：∵l與m垂直，且k_m＝－，
∴k_l＝3.又k_AC＝3，所以當(dāng)l與m垂直時(shí)，l的方程為y＝3(x＋1)，l必過(guò)圓心C.
(2)解：①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－1符合題意．②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因?yàn)镻Q＝2，所以CM＝＝1，則由CM＝＝1，得k＝，∴直線l：4x－3y＋4＝0.從而所求的直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.
①當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，易得N，則＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，則由
得N，則＝.
∴·＝·＝＝－5.
綜上，·與直線l的斜率無(wú)關(guān)，且·＝－5.
另解：連結(jié)CA并延長(zhǎng)交m于點(diǎn)B，連結(jié)CM，CN，由題意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四點(diǎn)M、C、N、B都在以CN為直徑的圓上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.