Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸上，且過點.

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點若拋物線上一點滿足，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ； (Ⅱ) .

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由題意設拋物線的標準方程，把已知點代入解得拋物線的標準方程；(Ⅱ)先由直線與圓相切得圓心到直線的距離為圓的半徑，可得與的關系式，在把直線方程與拋物線方程聯立方程組整理為關于的方程，利用判別式大于0求得的取值范圍，并設出交點的坐標，由根與系數的關系式和已知向量的關系式，把點的坐標表示出來，再代入拋物線方程，把用表示出來，從而可得的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ) 設拋物線方程為， 由已知得：， 所以，

所以拋物線的標準方程為  .      4分

(Ⅱ) 因為直線與圓相切，  所以  ，      6分

把直線方程代入拋物線方程并整理得：，    7分

由， 得 或，                8分

設， 則，

，

由，

得 ，                                11分

因為點在拋物線上，所以，

，                  13分

因為或，所以  或 ，

所以 的取值范圍為  .                15分

考點：1、拋物線標準方程；2、直線與拋物線相交和直線與圓相切的綜合應用.