Question

在△ABC中，A，B的坐標(biāo)分別是(-

2

，0)，(

2

，0)，點G是△ABC的重心，y軸上一點M滿足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（Ⅰ）求△ABC的頂點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m與軌跡E相交于P，Q兩點，若在軌跡E上存在點R，使四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點），求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)C（x，y），由點G是△ABC的重心，可得G(

x

3

，

y

3

)，由y軸上一點M滿足GM∥AB，可得M(0，

y

3

)．由|MC|=|MB|，利用兩點之間的距離公式可得

x2+( 2 3 y)2

=

2+( y 3 )2

，即可得出；
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為（3+k²）x²+2kmx+m²-6=0，由△＞0，可得 2k²-m²+6＞0，由四邊形OPRQ為平行四邊形，可得

OR

=

OP

+

OQ

，可得R（x₁+x₂，y₁+y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系可得R(

-2km

3+k2

，

6m

3+k2

)．由點R在橢圓上，代入橢圓方程化為2m²=k²+3．結(jié)合△＞0，即可解出m的取值范圍．

解答： 解：（I）設(shè)C（x，y），∵點G是△ABC的重心，
∴G(

x

3

，

y

3

)，
∵y軸上一點M滿足GM∥AB，∴M(0，

y

3

)．
∵|MC|=|MB|，
∴

x2+( 2 3 y)2

=

2+( y 3 )2

，
化為

x2

2

+

y2

6

=1(y≠0)即為△ABC的頂點C的軌跡E的方程；
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+m 3x2+y2=6

，化為（3+k²）x²+2kmx+m²-6=0，
由△＞0，化為 2k²-m²+6＞0，
∴x1+x2=

-2km

3+k2

，x1x2=

m2-6

3+k2

．
∵四邊形OPRQ為平行四邊形，
∴

OR

=

OP

+

OQ

，
∴R（x₁+x₂，y₁+y₂），y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

6m

3+k2

，
∴R(

-2km

3+k2

，

6m

3+k2

)．
∵點R在橢圓上，
∴3×(

-2km

3+k2

)2+(

6m

3+k2

)2=6，化為2m²=k²+3．
代入△＞0，可得m²＞0，
又2m²≥3，解得m≥

6

2

或m≤-

6

2

．
∴m的取值范圍是(-∞，

6

2

]∪[

6

2

，+∞)．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其質(zhì)、三角形重心性質(zhì)定理、重心與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、△＞0，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．