Question

如圖，四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點(diǎn)。

   （1）求證：PA⊥平面ABCD；    　

   （2）求二面角E―AC―D的大小；

   （3）若F為線段BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)D到平面PAF的距離.

Answer 1

解法一：

   （1）證明：∵底面ABCD為正方形，

∴BC⊥AB，又BC⊥PB，

    ∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥PA.     

同理CD⊥PA，  

∴PA⊥平面ABCD. 

   （2）解：設(shè)M為AD中點(diǎn)，連結(jié)EM，

又E為PD中點(diǎn)，

可得EM//PA，從而EM⊥底面ABCD.

過M作AC的垂線MN，垂足為N，連結(jié)EN

由三垂線定理有EN⊥AC，

∴∠ENM為二面角E―AC―D的平面角.                                  

在中，可求得   

∴.                                          

∴ 二面角E―AC―D的大小為.                               

   （3）解：過 D做AF的垂線DG，垂足為G，

∵PA⊥平面ABCD，

∴平面PAF⊥平面ABCD，

∴DG⊥平面PAF，

∴DG為點(diǎn)D到平面PAF的距離，                                          

由F為BC中點(diǎn)，可得.

又與相似，

可得，

∴.                                       

即點(diǎn)D到平面PAF的距離為.                                           

解法二：

   （1）證明：同解法一.      

   （2）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

   

則.  

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

則，.

又

   令則

得m.            

又是平面ACD的一個(gè)法向量，    

設(shè)二面角E―AC―D的大小為 ，

則．

∴ 二面角的大小為.            

   （3）解：∵為中點(diǎn)，

∴

設(shè)n為平面PAF的一個(gè)法向量，

則n，n．

又，

 

令則.

得n．                                   

又

∴點(diǎn)到平面的距離.