已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P為橢圓C的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，
OP|OM|
=e，e為橢圓C的離心率，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
分析：（1）根據(jù)題意，橢圓的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1，分析可得這個頂點是長軸的端點，則有a+c=7，a-c=1；解可得ac的值，進而可得b的值，即可得答案；
（2）設(shè)M（x，y），P（x，y1 ），根據(jù)橢圓的方程為
x2
16
+
y2
7
=1且P在橢圓上，可得e的值與y12=
7(16-x2)
16
①；根據(jù)題意，有
x2+
y
  2
1
x2+y2
=e2=
9
16
②；聯(lián)立①②化簡可得答案．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）根據(jù)題意，橢圓的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1，
則這個頂點不會是短軸的端點，而是長軸的端點，
則有a+c=7，a-c=1；
解可得a=4，c=3；
則b=
7
；
故橢圓的方程為
x2
16
+
y2
7
=1；
（2）設(shè)M（x，y），P（x，y1 ），
橢圓的方程為
x2
16
+
y2
7
=1中，e=
c
a
=
3
4
；
又由橢圓方程為
x2
16
+
y2
7
=1，且P在橢圓上，即y12=
7(16-x2)
16
①；
根據(jù)題意得
x2+
y
  2
1
x2+y2
=e2=
9
16
②；
①②聯(lián)立化簡可得，y2=
112
9
；
即y=±
4
7
3
，（-4≤x≤4）
其軌跡是兩條平行于x軸的線段．
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)與軌跡的求法，實際是橢圓的綜合題目，注意軌跡方程的求法步驟，尤其是軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系．
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