在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上,老師給一個(gè)活動(dòng)小組安排了這樣的一個(gè)任務(wù):設(shè)計(jì)一個(gè)方案,將一塊邊長(zhǎng)為4米的正方形鐵片,通過(guò)裁剪、拼接的方式,將它焊接成容積至少有5立方米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋容器(只有一個(gè)下底面和側(cè)面的長(zhǎng)方體).該活動(dòng)小組接到任務(wù)后,立刻設(shè)計(jì)了一個(gè)方案,如下圖所示,按圖1在正方形鐵片的四角裁去四個(gè)相同的小正方形后,將剩下的部分焊接成長(zhǎng)方體(如圖2).請(qǐng)你分析一下他們的設(shè)計(jì)方案切去邊長(zhǎng)為多大的小正方形后能得到的最大容積,最大容積是多少?是否符合要求?若不符合,請(qǐng)你幫他們?cè)僭O(shè)計(jì)一個(gè)能符合要求的方案,簡(jiǎn)單說(shuō)明操作過(guò)程和理由.精英家教網(wǎng)
分析:(1)設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x,利用長(zhǎng)方體的體積公式求得其容積表達(dá)式,再利用導(dǎo)數(shù)研究它的極值,進(jìn)而得出此函數(shù)的最大值即可.(2)在(1)中之所以不符合要求,主要原因是因?yàn)椴萌ニ膫(gè)相同的小正方形形成資源浪費(fèi),沒(méi)有充分利用現(xiàn)有材料,重新設(shè)計(jì)方案時(shí),必須充分考慮材料不浪費(fèi).
解答:解:(1)設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x,則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4-2x,高為x,
所以V1=(4-2x)2•x=4(x3-4x2+4x)(0<x<2).(4分)
∴V1′=4(3x2-8x+4),(5分)
令V1′=0,即4(3x2-8x+4)=0,解得x1=
2
3
,x2=2(舍去).(7分)
∵V1在(0,2)內(nèi)只有一個(gè)極值,
∴當(dāng)x=
2
3
時(shí),V1取得最大值
128
27
128
27
<5,即不符合要求(9分)
(2)重新設(shè)計(jì)方案如下:
如圖①,在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形;如圖②,將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間;如圖③,將圖②焊成長(zhǎng)方體容器.新焊長(zhǎng)方體容器底面是一個(gè)長(zhǎng)方形,長(zhǎng)為3,寬為2,此長(zhǎng)方體容積V2=3×2×1=6,顯然V2>5.
故第二種方案符合要求.
精英家教網(wǎng)(13分)
注:第二問(wèn)答案不唯一.
點(diǎn)評(píng):利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題,關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,把問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式,這需要通過(guò)分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成.函數(shù)的最值要由極值和端點(diǎn)的函數(shù)值確定.當(dāng)函數(shù)定義域是開(kāi)區(qū)間且在區(qū)間上只有一個(gè)極值時(shí),這個(gè)極值就是它的最值.
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