Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖， 是直角三角形，，交于點(diǎn)，平面，，．

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)見(jiàn)解析

（2）平面與平面所成的銳二面角的余弦值為　

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，以及二面角的求解，綜合考查了同同學(xué)們的空間想象的能力和邏輯推理能力和計(jì)算能力的運(yùn)用。靈活運(yùn)用定理和性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題的運(yùn)用。

（1）對(duì)于線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定，一般通過(guò)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得到。關(guān)鍵是判定BM垂直于平面ACEF

（2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)表示平面的法向量，利用法向量與法向量的夾角來(lái)求解二面角的平面角的問(wèn)題。

解：（法一）（1）平面平面，．……………1分

又，平面

而平面． ………………………………………3分

是直角三角形，，．

又，．

平面，，平面．

與都是等腰直角三角形．．

，即（也可由勾股定理證得）．………………………………5分

，平面．而平面，

． ………………………………………………………………………………6分

（2）延長(zhǎng)交于，連，過(guò)作，連結(jié)．

由（1）知平面，平面，．

而，平面．

 平面，，

為平面與平面所成的二面角的平面角．     ……………………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，則．    ………………………………11分

是等腰直角三角形，．

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為　 ………………………12分

（法二）（1）同法一，得．             ………………………3分

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于、、所在的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由已知條件得，

． ………4分

由，

得， ．   ……………6分

（2）由（1）知．

設(shè)平面的法向量為，

由 得，

令得，，             …………………………9分

由已知平面，所以取面的法向量為，

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，

則，  …………………………11分

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．     ……………………12分