Question

已知函數(shù)f（x）=mx-

m

x

-lnx，若f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，當x＞0時，f′（x）=m+

m

x2

-

1

x

≥0恒成立．即當x＞0時，m≥

1

x+ 1 x

．而由基本不等式可得

1

x+ 1 x

得最大值，可得m的范圍．

解答：解：由于函數(shù)f（x）=mx-

m

x

-lnx，x＞0，f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，
∴當x＞0時，f′（x）=m+

m

x2

-

1

x

≥0恒成立．
即當x＞0時，m≥

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

．
而由基本不等式可得

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
即

1

x+ 1 x

得最大值為

1

2

，故有m≥

1

2

，
故答案為：[

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．