Question

如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點．求證：MN⊥AB

Answer 1

答案：
解析：

證明：連結(jié)AC，取AC中點E，連結(jié)ME、NE，則NE∥PA， 　　∴NE⊥平面ABCD，∴NE⊥AB 　　∵ME∥BC，BC⊥AB，∴ME⊥AB 　　∴AB⊥面MNE．∴MN⊥AB 　　思路分析：題中給出的M、N分別是AB、PC的中點，那么不妨再加一個中點，并把它們連結(jié)起來．連結(jié)AC，取AC的中點E，連結(jié)ME、NE，△MNE具有很好的性質(zhì)，它的兩條邊分別是所在三角形的中位線．欲證線線垂直，先證線面垂直，也就是要證AB⊥面MNE，這就要轉(zhuǎn)化為證AB與面MNE內(nèi)兩條相交直線ME、NE垂直．

提示：

要證明兩條直線垂直，常有以下方法：(1)兩條直線垂直的定義，即求出兩條直線所成的角是直角；(2)證線面垂直，如本題；(3)利用結(jié)論：一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則它垂直于另一條直線．