Question

9．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，滿足a=2sinA，cosC=-$\frac{1}{2}$
（I）求c邊的大�。�
（ II）當(dāng)C在圓O的劣弧$\widehat{AB}$上移動(dòng)到何處時(shí)，△ABC的面積最大，求此時(shí)角A的大小，并求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理即可求出c，
（Ⅱ）由條件知C在弧$\widehat{AB}$上，故C為弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，S_△ABC有最大值，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又由正弦定理可得c=$\frac{ssinC}{sinA}$=$\frac{2sinA•\frac{\sqrt{3}}{2}}{sinA}$=$\sqrt{3}$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB=$\sqrt{3}$，C=$\frac{2π}{3}$．
由條件知C在弧$\widehat{AB}$上，故C為弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，
S_△ABC有最大值，
∵CA=CB，
∴A=$\frac{1}{2}$（π-$\frac{2π}{3}$）=$\frac{π}{6}$，
過C作CD⊥AB于點(diǎn)D，CD=ADtan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴（S_△ABC）_max=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的有關(guān)知識(shí)，以及正弦定理，三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．