已知函數(shù)f(x)=x2－x＋alnx

    (1)當x≥1時，f(x)≤x2恒成立，求a的取值范圍；

    (2)討論f(x)在定義域上的單調(diào)性；

（1）a≤e（2）（1）當△=1－8a≤0，a≥時，f′(x)≥0恒成立，f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)．-----9分

（2）當a＜時

①當0＜a＜時，  

f(x)在上為減函數(shù)，

f(x)在上為增函數(shù)．       -------------11分

②當a=0時，f(x)在（0，1]上為減函數(shù)，f(x)在[1，＋∞）上為增函數(shù)． --13分

③當a＜0時，，故f(x)在（0，]上為減函數(shù)，

        f(x)在[，＋∞）上為增函數(shù)．           ------------   15分


解析:

由 f(x)≤x2恒成立,得:alnx≤x在x≥1時恒成立

       當x＝1時a∈R   -----------------------------------------------2分

       當x＞1時即，令 ,   ----------4分

       x≥e時g’(x)≥0 ,g(x)在x＞e時為增函數(shù)， g(x)在x＜e時為減函數(shù)

     ∴gmin(x)＝e   ∴a≤e      ---------------------------------------7分

(2)解：f(x)=x2－x＋alnx，f′(x)=2x－1＋=，x＞0

（1）當△=1－8a≤0，a≥時，f′(x)≥0恒成立，f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)．-----9分

（2）當a＜時

①當0＜a＜時，  

f(x)在上為減函數(shù)，

f(x)在上為增函數(shù)．       -------------11分

②當a=0時，f(x)在（0，1]上為減函數(shù)，f(x)在[1，＋∞）上為增函數(shù)． --13分

③當a＜0時，，故f(x)在（0，]上為減函數(shù)，

        f(x)在[，＋∞）上為增函數(shù)．           ------------   15分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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