Question

若方程x²+ax+b=0有不小于2的實(shí)根，則a²+b²的最小值為（ ）
A．3
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：本題首先有一個(gè)化歸問題，把方程x²+ax+b=0看作以（a，b）為動(dòng)點(diǎn)的直線l：xa+b+x²=0的方程，把代數(shù)中的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何的問題，這是解題的關(guān)鍵，由點(diǎn)到直線的距離d的最小性得到要求的量與已知之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出最值．
解答：解：將方程x²+ax+b=0看作以（a，b）為動(dòng)點(diǎn)的直線l：xa+b+x²=0的方程，
則a²+b²的幾何意義為l上的點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)O（0，0）的距離的平方，
由點(diǎn)到直線的距離d的最小性知a²+b²≥d²
（x≥2），
令u=x²+1，易知（u≥5）在[5，+∞）上單調(diào)遞增，
則f（u）≥f（5）=，
∴a²+b²的最小值為．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的化歸思想來(lái)解題的，同時(shí)還要用數(shù)形結(jié)合思想，這是一個(gè)綜合題，解題過程中用到函數(shù)的單調(diào)性求最值，是一個(gè)中檔題．