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已知函數的定義域為，且同時滿足以下三個條件：①；②對任意的，都有；③當時總有．

（1）試求的值；

（2）求的最大值；

（3）證明：當時，恒有．

 

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）抽象函數求在特殊點的值，一般用賦值法，令代入抽象函數可得，又因為，可得.（2）在定義域內求抽象函數最值，一般先判斷函數單調性，再求比較定義域端點的函數值和極值點的大小.證明單調性可令，代入得進而得函數為增函數，最大值為；

（3）在上證不等式，要分兩段、.在上，，所以.在，，所以，進而得證.

試題解析：（1）令則有，所以有，有根據條件‚可知，故.（也可令）

方法一：設，則有，即為增函數（嚴格來講為不減函數），所以，故.

方法二：不妨令，所以由ƒ，即增函數（嚴格來講為不減函數），所以，故.

（3）當，有，又由‚可知，所以有對任意的恒成立.當，又由‚可知，所以有對任意的恒成立.綜上，對任意的時，恒有.

考點：1.抽象函數求值和單調性；2.證明不等式.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數的定義域為（0，+∞），且單調遞增，滿足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）證明：f（1）=0；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數的定義域為R，對任意的x1，x2都滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），當x＞0時，f（x）＞0．
（I）試判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）試判斷并證明f（x）的單調性；
（III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0對所有的θ∈[0，
π2
]均成立，求實數m 的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年浙江省杭州市七校高三上學期期中聯(lián)考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數的定義域為，

（1）求；

（2）若，且是的真子集，求實數的取值范圍.

 

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已知函數的定義域為,部分對應值如下表。的導函數的圖像如圖所示。

0

下列關于函數的命題：

①函數在上是減函數；②如果當時，最大值是，那么的最大值為；③函數有個零點，則；④已知是的一個單調遞減區(qū)間，則的最大值為。

其中真命題的個數是（           ）

A、4個    B、3個  C、2個  D、1個

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年海南省�？谑懈呷呖颊{研考試理科數學 題型：選擇題

已知函數的定義域為，且，為的導函數，函數的圖象如圖所示.若正數,滿足,則的取值范圍是

    A．    B．  C．    D．

 

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