已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)是否存在過點N(4,2)的直線m,使得直線m被曲線C所截得的弦AB恰好被點N平分?如果存在,求出直線m的方程;不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1,可得當(dāng)x≥0時,點P到F的距離等于點P到直線x=-1的距離,所以動點P的軌跡為拋物線;當(dāng)x<0時,y=0也滿足題意;
(2)由題意,直線m的斜率存在,設(shè)方程為y-2=k(x-4),與拋物線方程聯(lián)立,消去x,利用(4,2)是中點,求出斜率,驗證△,即可得出結(jié)論.
解答:解:(1)∵平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1,
∴當(dāng)x≥0時,點P到F的距離等于點P到直線x=-1的距離,
∴動點P的軌跡為拋物線,方程為y2=4x(x≥0);
當(dāng)x<0時,y=0.
∴動點P的軌跡C的方程為y2=4x(x≥0)或y=0(x<0);
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由題意,直線m的斜率存在,設(shè)方程為y-2=k(x-4),與拋物線方程聯(lián)立,消去x可得ky2-4y-8+4k=0①,
2=
y1+y2
2
=
2
k

∴k=1,此時①中△恒大于0,
∴直線m存在,其方程為y=x-2.
點評:本題考查軌跡方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是確定拋物線的方程,利用韋達(dá)定理解題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面內(nèi)一動點P到F(1,0)的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大1.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點F的直線交軌跡C于A,B兩點,交直線x=-1于M點,且
MA
=λ1
AF
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面內(nèi)一動點P到定點F(2,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于2.
(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點F作傾斜角為60°的直線l與軌跡C交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,O為坐標(biāo)原點,點M為軌跡C上一點,若向量
OM
=
OA
OB
,求λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•汕頭二模)已知平面內(nèi)一動點 P到定點F(0,
1
2
)
的距離等于它到定直線y=-
1
2
的距離,又已知點 O(0,0),M(0,1).
(1)求動點 P的軌跡C的方程;
(2)當(dāng)點 P(x0,y0)(x0≠0)在(1)中的軌跡C上運動時,以 M P為直徑作圓,求該圓截直線y=
1
2
所得的弦長;
(3)當(dāng)點 P(x0,y0)(x0≠0)在(1)中的軌跡C上運動時,過點 P作x軸的垂線交x軸于點 A,過點 P作(1)中的軌跡C的切線l交x軸于點 B,問:是否總有 P B平分∠A PF?如果有,請給予證明;如果沒有,請舉出反例.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江省高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知平面內(nèi)一動點P到F(1,0)的距離比點P到軸的距離少1.

(1)求動點P的軌跡C的方程;

(2)過點F的直線交軌跡C于A,B兩點,交直線點,且

,,

的值。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知平面內(nèi)一動點P到F(1,0)的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大1.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點F的直線交軌跡C于A,B兩點,交直線x=-1于M點,且
MA
=λ1
AF
,
MB
=λ2
BF
,求λ12的值.

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