已知函數(shù)f1(x)=mx2的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),函數(shù)y=f2(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,且x≥a時(shí)f2(x)=x-a,若f(x)=f1(x)f2(x).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值.
分析:(1)由函數(shù)f1(x)=mx2的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),求得m解得f1(x);由函數(shù)y=f2(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,且x≥a時(shí)f2(x)=x-a,得到函數(shù)f2(x)最后由f(x)=f1(x)f2(x)得到f(x).
(2)當(dāng)a≤2時(shí),f(x)=x2(x-a),f′(x)=3x2-2ax,當(dāng)x∈[2,3]時(shí)f(x)是增函數(shù)f(x)min=f(2),當(dāng)2<a≤3時(shí)f(x)min=f(a)=0,當(dāng)a>3時(shí)f(x)=ax2-x3,f′(x)=2ax-3x2,當(dāng)3<a<
9
2
時(shí)f(x)在[2,
2
3
a
]增,在[
2
3
a
,3]減,可得到
f(x)min=f(2)=4a-8或f(x)min=f(3)=9a-27,若4a-8>9a-27,即a<
19
5
時(shí)有兩種情況3<a
19
5
時(shí)f(x)min=f(3),
19
5
<a<
9
2
時(shí)f(x)min=f(2),當(dāng)a
9
2
時(shí)f(x)min=f(2).最后寫成分段函數(shù)的形式.
解答:解:(1)∵函數(shù)f1(x)=mx2的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),
∴f1(1)=1,
∴m=1),
∴f1(x)=x2
∵函數(shù)y=f2(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,且x≥a時(shí)f2(x)=x-a,
∴f2(x)=|x-a|,
∵f(x)=f1(x)f2(x).
∴f(x)=x2|x-a|,
(2)當(dāng)a≤2時(shí),f(x)=x2(x-a),
∴f′(x)=3x2-2ax
當(dāng)x∈[2,3]時(shí)f′(x)>0,
∴f(x)是增函數(shù)
∴f(x)min=f(2)=8-4a
當(dāng)2<a≤3時(shí)f(x)=x2|x-a|,f(a)=0
∴f(x)min=f(a)=0
當(dāng)a>3時(shí)f(x)=ax2-x3
f′(x)=2ax-3x2
當(dāng)3<a<
9
2
時(shí)f(x)在[2,
2
3
a
]增,在[
2
3
a
,3]減
∴f(x)min=f(2)=4a-8或f(x)min=f(3)=9a-27
當(dāng)4a-8>9a-27即a<
19
5

當(dāng)3<a
19
5
時(shí)f(x)min=f(3)=9a-27
當(dāng)
19
5
<a<
9
2
時(shí)f(x)min=f(2)=4a-8
當(dāng)a
9
2
時(shí)f(x)min=f(2)=4a-8
∴f(x)min=
8-4a   a≤2
0       2<a≤3
a-27   3<a<
19
5
4a-8   a≥
19
5
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)解析式的求法及應(yīng)用,主要考查了函數(shù)的單調(diào)性來(lái)函數(shù)的最值,還考查了分類討論思想.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f1(x)=e|x-2a+1|,f2(x)=e|x-a|+1,x∈R.
(1)若a=2,求f(x)=f1(x)+f2(x)在x∈[2,3]上的最小值;
(2)若|f1(x)-f2(x)|=f2(x)-f1(x)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x∈R恒成立,求a的取值范圍;
(3)當(dāng)4≤a≤6時(shí),求函數(shù)g(x)=
f1(x)+f2(x)
2
-
|f1(x)-f2(x)|
2
在x∈[1,6]上的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=lg(|x|+1),將它們分別寫在六張卡片上,放在一個(gè)盒子中,
(Ⅰ)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加得到一個(gè)新函數(shù),求所得的函數(shù)是奇函數(shù)的概率;
(Ⅱ)從盒子中任取兩張卡片,已知其中一張卡片上的函數(shù)為奇函數(shù),求另一張卡片上的函數(shù)也是奇函數(shù)的概率;
(Ⅲ)現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取,否則繼續(xù)進(jìn)行,求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f1(x)=sinx,且fn+1(x)=fn′(x),其中n∈N*,求f1(x)+f2(x)+…+f100(x)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•寧德模擬)已知函數(shù)f1(x)=
1
2
x2,f2(x)=alnx(a∈R)•
(I)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù).f(x)=f1(x)•f2(x)的極值;
(II)若存在x0∈[1,e],使得f1(x0)+f2(x0)≤(a+1)x0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(III)求證:當(dāng)x>0時(shí),lnx+
3
4x2
-
1
ex
>0.
(說(shuō)明:e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)

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