Question

甲、乙兩家公司共有150名工人，甲公司每名工人月工資為1 200元，乙公司每名工人月工資為1 500元，兩家公司每月需付給工人工資共計(jì)19.5萬元．
（1）求甲、乙公司分別有多少名工人．
（2）經(jīng)營一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，乙公司工人人均月產(chǎn)值是甲公司工人的3.2倍，于是甲公司決定內(nèi)部調(diào)整，選拔了本公司部分工人到新崗位工作．調(diào)整后，原崗位工人和新崗位工人的人均月產(chǎn)值分別為調(diào)整前的1.2倍和4倍，且甲公司新崗位工人的月生產(chǎn)總值不超過乙公司月生產(chǎn)總值的40%，甲公司的月生產(chǎn)總值不少于乙公司的月生產(chǎn)總值，求甲公司選拔到新崗位有多少人？
（3）在（2）的條件下，甲公司決定拿出10萬元全部用于獎(jiǎng)勵(lì)本公司工人，每人的獎(jiǎng)金不低于500元且每名新崗位工人的獎(jiǎng)金高于原崗位工人的獎(jiǎng)金．若以整百元為單位發(fā)放，請直接寫出獎(jiǎng)金發(fā)放方案．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)甲公司有x名工人，乙公司有y名工人，由甲、乙兩家公司共有150名工人，可得x+y=150；利用甲公司每名工人月工資為1 200元，乙公司每名工人月工資為1 500元，兩家公司每月需付給工人工資共計(jì)19.5萬元．可得1200x+1500y=195000．聯(lián)立解出即可；
（2）設(shè)甲公司選拔a人到新崗位工作，甲公司調(diào)整前人均月產(chǎn)值為p元，由甲公司新崗位工人的月生產(chǎn)總值4pa不超過乙公司月生產(chǎn)總值3.2p×50的40%，可得4pa≤3.2p×50×40%．同理由甲公司的月生產(chǎn)總值
4pa+1.2p（100-a）不少于乙公司的月生產(chǎn)總值3.2p×50，可得1.2p（100-a）+4pa≥3.2p×50．
聯(lián)立解出即可．
（3）甲公司選拔15人到新崗位工作，剩下85人在原工作崗位工作．則
方案為：設(shè)原崗位和新崗位工人每人分別獎(jiǎng)勵(lì)x元，y元．則

85x+15y=100000 x≥500，y≥500 x=100k1，y=100k2，k1，k2為整數(shù)

解得

x=700 y=2700

．
700元和2700元．
甲公司選拔16人到新崗位工作．同理解得．
方案為：原崗位和新崗位工人每人分別獎(jiǎng)勵(lì)600元和3100元．

解答： 解：（1）設(shè)甲公司有x名工人，乙公司有y名工人，由題意可得

x+y=150 1200x+1500y=195000

，
解得

x=100 y=50

，
甲公司有100名工人，乙公司有50名工人．
（2）設(shè)甲公司選拔a人到新崗位工作，甲公司調(diào)整前人均月產(chǎn)值為p元，由甲公司新崗位工人的月生產(chǎn)總值4pa不超過乙公司月生產(chǎn)總值3.2p×50的40%，可得4pa≤3.2p×50×40%．同理由甲公司的月生產(chǎn)總值
4pa+1.2p（100-a）不少于乙公司的月生產(chǎn)總值3.2p×50，可得1.2p（100-a）+4pa≥3.2p×50．
聯(lián)立可得

4pa≤3.2p×50×40% 1.2p(100-a)+4pa≥3.2p×50

，化為

a≤16 a≥14 2 7

．
解得14

2

7

≤a≤16，又a為整數(shù)，a=15或16．
甲公司選拔15人或16人到新崗位工作．
（3）甲公司選拔15人到新崗位工作．方案為：設(shè)原崗位和新崗位工人每人分別獎(jiǎng)勵(lì)x元，y元．則

85x+15y=100000 x≥500，y≥500 x=100k1，y=100k2，k1，k2為整數(shù)

對x=500，600，…，1100，直接驗(yàn)證得到x=700，滿足條件，代入解得y=2700，即

x=700 y=2700

．

因此原崗位和新崗位工人每人分別獎(jiǎng)勵(lì)700元和2700元．
甲公司選拔16人到新崗位工作．同理
方案為：原崗位和新崗位工人每人分別獎(jiǎng)勵(lì)600元和3100元．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇、利用方程組和不等式組及線性規(guī)劃解決實(shí)際問題，屬于難題．