已知f(x)=-
1
2
ax2+x-ln(1+x)
,其中a>0.
(1)若x=3是函數(shù)f(x)的極值點,求a的值;
(2)求f(x)的單調區(qū)間;
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范圍.
(1)∵f(x)=-
1
2
ax2+x-ln(1+x)
,其中a>0,
∴f′(x)=-ax+1-
1
1+x
=
-ax2-(a-1)x
x+1
,其中x∈(-1,+∞);
∵f′(3)=0,即-9a-3(a-1)=0,解得a=
1
4

∴a的值是a=
1
4
;
(2)令f′(x)=0,得
-ax2-(a-1)x
x+1
=0,其中x∈(-1,+∞);
即ax2+(a-1)x=0,解得x1=0,x2=
1
a
-1;
①當0<a<1時,x1<x2,f(x)與f′(x)的變化情況如下表:
x(-1,0)0(0,
1
a
-1)
1
a
-1
(
1
a
-1,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)f(0)f(
1
a
-1)
∴f(x)的單調增區(qū)間是(0,
1
a
-1)
,f(x)的單調減區(qū)間是(-1,0),(
1
a
-1,+∞)

②當a=1時,f(x)的單調減區(qū)間是(-1,+∞);
③當a>1時,-1<x2<0,f(x)與f′(x)的變化情況如下表:
x(-1,
1
a
-1)
1
a
-1
(
1
a
-1,0)
0(0,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)f(
1
a
-1)
f(0)
∴f(x)的單調增區(qū)間是(
1
a
-1,0)
,f(x)的單調減區(qū)間是(-1,
1
a
-1)
,(0,+∞);
綜上,當0<a<1時,f(x)的單調增區(qū)間是(0,
1
a
-1)
,f(x)的單調減區(qū)間是(-1,0),(
1
a
-1,+∞)
;
當a=1時,f(x)的單調減區(qū)間是(-1,+∞);
當a>1,f(x)的單調增區(qū)間是(
1
a
-1,0)
.f(x)的單調減區(qū)間是(-1,
1
a
-1)
,(0,+∞);
(3)由(2)知,當0<a<1時,f(x)在(0,+∞)的最大值是f(
1
a
-1)
,但f(
1
a
-1)>f(0)=0
,所以0<a<1不合題意;
當a≥1時,f(x)在(0,+∞)上單調遞減,f(x)≤f(0),
∴f(x)在[0,+∞)上的最大值為f(0)=0,符合題意;
∴f(x)在[0,+∞)上的最大值為0時,a的取值范圍是{a|a≥1}.
練習冊系列答案
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1
2
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1
e
,e)內有兩個零點,求正實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)求證:當x>0時,1nx+
3
4x2
-
1
ex
>0.(說明:e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)

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A.-1B.-3C.-5D.5

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2
3
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(1)當-2<a<0時,證明:-
1
e2
(a+4)<b<f(a);
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         B.2m         C.0            D.-m

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