(2013•懷化二模)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),y軸右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)(
1
2
,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大
1
2

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)Q為曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B,C在y軸上,若△QBC為圓(x-1)2+y2=1的外切三角形,求△QBC面積的最小值.
分析:(Ⅰ)利用拋物線的定義,可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)出Q,B,C的坐標(biāo),利用直線QB是圓的切線,進(jìn)而可表示出△QBC面積,換元,利用基本不等式,即可求△QBC面積的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由題知點(diǎn)P到F(
1
2
,0)
的距離與它到直線x=-
1
2
的距離相等,
所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線,方程為y2=2x…(4分)
(Ⅱ)設(shè)Q(x0,y0),B(0,b),C(0,c),則QB:y-b=
y0-b
x0
x
即(y0-b)x-x0y+x0b=0
由直線QB是圓的切線知
|y0-b+x0b|
(y0-b)2+x02
=1
,即(x0-2)b2+2y0b-x0=0
同理∵x0>0,(x0-2)c2+2y0c-x0=0所以b,c是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的兩根
b+c=-
2y0
x0-2
,bc=-
x0
x0-2
…(8分)
S△QBC=
1
2
|b-c|x0=
1
2
4y02
(x0-2)2
+
4x0
x0-2
x0

y02=2x0,∴S△QBC=
x02
|x0-2|

由題知x0>2,∴S△QBC=
x02
x0-2

令t=x0-2,則S△QBC=
(t+2)2
t
=t+
4
t
+4
≥4+4=8,當(dāng)t=2即x0=4時(shí),取“=”
∴△QBC面積的最小值為8…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程,考查三角形面積的計(jì)算,考查基本不等式的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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5
13
,角α+β的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是
3
5
,則cosα=( 。

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y2b2
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π
2
-x)
;②f(x)=(
1
3
)x
;③f(x)=-log2x;④f(x)=2π(x-3)2+5.其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的是( 。

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