Question

12．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，若對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0，有f（x）＞0．
（1）求證：f（0）=0；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）直接令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）即可；
（2）令x=-y，所以有f（0）=f（x）+f（-x），即證明為奇函數(shù)；
（3）直接利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；

解答 解：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，
∴f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
（2）由f（x+y）=f（x）+f（y），令x=-y，
∴f（0）=f（x）+f（-x），
即f（-x）=-f（x），且f（0）=0，
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）f（x）在R上是增函數(shù)．
證明：在R上任取x₁，x₂，并且x₁＞x₂，
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）．
∵x₁＞x₂，即x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)的數(shù)值證明、函數(shù)單調(diào)性與奇偶性定義，屬基礎(chǔ)題．