Question

在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖）．將矩形折疊，使A點落在線段DC上．
（I）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；
（II）當-2+

3

≤k≤0時，求折痕長的最大值；
（Ⅲ）當-2≤k≤-1時，折痕為線段PQ，設(shè)t=k（2|PQ|²-1），試求t的最大值．

Answer 1

分析：（1）分情況討論斜率表示直線的方程
（2）表示出線段后，分類討論求最值
（3）表示線段，用均值不等式求最值

解答：解：（1）①當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y=

1

2

②當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段DC上的點記為G（a，1），
所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，
有k_OG•k=-1⇒

1

a

•k=-1⇒a=-k
故G點坐標為G（-k，1），
從而折痕所在的直線與OG的交點坐標
（線段OG的中點）為M(-

k

2

，

1

2

)
折痕所在的直線方程y-

1

2

=k(x+

k

2

)，即y=kx+

k2

2

+

1

2

由①②得折痕所在的直線方程為：y=kx+

k2

2

+

1

2

（2）當k=0時，折痕的長為2；
當-2+

3

≤k＜0時，折痕直線交BC于點P(2，2k+

k2

2

+

1

2

)，交y軸于Q(0，

k2+1

2

)
∵|PQ|2=22+[

k2+1

2

-(2k+

k2

2

+

1

2

)]2=4+4k2≤4+4(7-4

3

)=32-16

3

∴折痕長度的最大值為

32-16 3

=

4(8-4 3 )

=

4( 6 - 2 ) 2

=2(

6

-

2

) 
而2(

6

-

2

)＞2
故折痕長度的最大值為2(

6

-

2

)  
（3）當-2≤k≤-1時，折痕直線交DC于P(

1

2k

-

k

2

，1)，交x軸于Q(-

k2+1

2k

，0)
∵|PQ|2=[-

k2+1

2k

-(

1

2k

-

k

2

)]2+1=

1

k2

+1
∴t=k(2|PQ|2-1)=k+

2

k

∵-2≤k≤-1
∴k+

2

k

≤-2

2

（當且僅當k=-

2

∈(-2，-1)時取“=”號）
∴當k=-

2

時，t取最大值，t的最大值是-2

2

．

點評：本題考察內(nèi)容比較綜合，考察了求直線方程、求函數(shù)的最值、均值不等式、數(shù)形結(jié)合和分類討論思想，屬難題