Question

10．對于函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R），
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；　　
（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可，
（2）結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進行證明．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．證明如下：
函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因為y=2^x是R上的增函數(shù)，所以${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
（2）存在實數(shù)a=1，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
證明如下：當a=1時，f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
對?x∈R，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
即f（x）為奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．