Question

以一個(gè)正五棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有

 

個(gè)．（請(qǐng)用數(shù)字作答）

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

專題：計(jì)算題,排列組合

分析：根據(jù)題意，結(jié)合四點(diǎn)共面的情況分3種情況討論：①、上底面中取3個(gè)點(diǎn)，下底面取1個(gè)點(diǎn)，②、上底面中取1個(gè)點(diǎn)，下底面取3個(gè)點(diǎn)，③、上底面中取2個(gè)點(diǎn)，下底面取2個(gè)點(diǎn)，分別求出每種情況下四面體的個(gè)數(shù)，由加法原理計(jì)算可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，如圖分3種情況討論：
①、上底面中取3個(gè)點(diǎn)，下底面取1個(gè)點(diǎn)，
共有C₅³×C₅¹=50個(gè)四面體，
②、上底面中取1個(gè)點(diǎn)，下底面取3個(gè)點(diǎn)，
共有C₅¹×C₅³=50個(gè)四面體，
③、上底面中取2個(gè)點(diǎn)，下底面取2個(gè)點(diǎn)，
共有C₅²×C₅²=100種情況，
其中共面的有3種情況：a、5個(gè)側(cè)面，b、5個(gè)對(duì)角面，c、10個(gè)底面五邊形對(duì)角線與相對(duì)底面與之平行的邊確定的平面，如平面ACD′B′，
此時(shí)可以組成四面體100-5-5-10=80個(gè)；
綜合可得：一個(gè)正五棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有50+50+80=180個(gè)：
故答案為180．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意4點(diǎn)共面包括“10個(gè)底面五邊形對(duì)角線與相對(duì)底面與之平行的邊確定的平面”