已知函數(shù)f(x)=2x+
12x
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用單調性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義進行證明即可．
解答：解：（1）∵f(x)=2x+
1
2x
=2x+2-x，
∴f（-x）=2x+2-x=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）利用單調性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
設0＜x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=2x1+
1
2x1
-(2x2+
1
2x2
)=2x1-2x2+
2x2-2x1
2x1?2x2
=(2x1-2x2)
2x1?2x2-1
2x1?2x2
，
∵0＜x1＜x2，
∴2x1-2x20，
即f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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