Question

【題目】某學校在平面圖為矩形的操場ABCD內進行體操表演，其中AB＝40，BC＝15，O為AB上一點，且BO＝10，線段OC、OD、MN為表演隊列所在位置（M、N分別在線段OD、OC上），△OCD內的點P為領隊位置，且P到OC、OD的距離分別為、，記OM＝d，我們知道當△OMN面積最小時觀賞效果最好．

（1）當d為何值時，P為隊列MN的中點；

（2）怎樣安排M的位置才能使觀賞效果最好？求出此時△OMN的面積．

Answer 1

【答案】(1)．(2) M，N，P 三點共線，面積為．

【解析】

1）以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，過O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，OC：y＝1.5x；OD：y＝﹣0.5x，設P（a，b），M（﹣2m，m），N（n，1.5n），（m＞0，n＞0），求解即可

（2）通過推出，利用基本不等式以及三角形面積公式即可

（1）以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，過O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．則C（10，15），B（10，0），D（﹣30，15），P（﹣4，4）．OC：y＝1.5x；OD：y＝﹣0.5x，

設P（a，b），M（﹣2m，m），N（n，1.5n），（m＞0，n＞0），

P到OC、OD的距離分別為、，聯立解方程組，得，

∵P為MN的中點，所以，得m，n，所以，

∴d＝|OM|．

（2）由M，N，P 三點共線，得，5m+6.5n＝4mn，即，

S△OMN，

（2m+n），當且僅當5n2＝13m2成立，

所以△OMN面積最小為．