Question

已知函數f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，若關于x的不等式f（x）≥m²-

3

4

m有解，則實數m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：關于x的不等式f（x）≥m²-

3

4

m有解，即為f（x）_max≥m²-

3

4

m，通過對數函數和二次函數的性質，求得f（x）的最大值，再由二次不等式的解法，即可得到范圍．

解答： 解：關于x的不等式f（x）≥m²-

3

4

m有解，
即為f（x）_max≥m²-

3

4

m，
由函數f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，
則x＞1時，f（x）遞減，即有f（x）＜0；
當x≤1時，y=-x²+x的對稱軸x=

1

2

，
則有f（x）≤f（

1

2

）=

1

2

-

1

4

=

1

4

，
則f（x）在R上的最大值為

1

4

．
則

1

4

≥m²-

3

4

m，
解得，-

1

4

≤m≤1．
故答案為：[-

1

4

，1]

點評：本題考查不等式的成立有解問題，注意轉化為求函數最值問題，考查函數的性質和運用，及二次不等式的解法，屬于中檔題和易錯題．