過直線y=x上的一點作圓x2+(y-4)2=2的兩條切線L1、L2,當L1與L2關于y=x對稱時,L1與L2的夾角為( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【答案】
分析:根據(jù)題意畫出圖形,由過直線y=x上點A作圓B的兩條切線關于y=x對稱,得到BA與y=x垂直,且∠BAD=∠BAC,根據(jù)切線性質(zhì)得到∠BCA為直角,然后利用點直線的距離公式求出圓心B到直線y=x的距離即為|AB|,而|BC|為圓的半徑長,根據(jù)一直角邊等于斜邊的一半,這條直角邊所對的角為30°,得到∠BAD=∠BAC=30°,進而求出∠CAD的度數(shù),進而兩切線的夾角.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182407520737627/SYS201310241824075207376006_DA/images0.png)
解:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
由圓的方程得到圓心B(0,4),圓的半徑r=|BC|=|BD|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182407520737627/SYS201310241824075207376006_DA/0.png)
,
根據(jù)兩條切線關于y=x對稱,得到BA⊥直線y=x,
所以|BA|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182407520737627/SYS201310241824075207376006_DA/1.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182407520737627/SYS201310241824075207376006_DA/2.png)
,
又直線AC和直線AD都為圓B的切線,切點分別為C和D,
所以BC⊥AC,BD⊥AD,即∠BCA=∠BDA=90°,
在Rt△ABC和Rt△ADB中,BC=BD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182407520737627/SYS201310241824075207376006_DA/3.png)
,AB=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182407520737627/SYS201310241824075207376006_DA/4.png)
,
所以∠BAD=∠BAC=30°,
則∠CAD=60°,即兩切線的夾角為60°.
故選C
點評:此題考查了直線與圓的位置關系,直角三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì)以及點到直線的距離公式.要求學生利用數(shù)形結合的思想,借助圖形,充分利用對稱性質(zhì)來解決問題.