Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0處取到極值2．
（Ⅰ）分別求c，d的值；
（Ⅱ）試研究曲線y=f（x）的所有切線中與直線y=

1

b

x+1的垂直的條數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），知f′（x）=3x²+2bx+c，由f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0處取到極值2，知

f(0)=d=2 f′(0)=c=0

，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）由f（x）=x³+bx²+2，知f′（x）=3x²+2bx，由曲線y=f（x）的所有切線中與直線y=

1

b

x+1的垂直的切線的斜率k=f′（x）=3x²+2bx=-b，分類(lèi)討論能夠求出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0處取到極值2，
∴

f(0)=d=2 f′(0)=c=0

，
故c=0，d=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³+bx²+2，
f′（x）=3x²+2bx，
曲線y=f（x）的所有切線中與直線y=

1

b

x+1的垂直的切線的斜率
k=f′（x）=3x²+2bx=-b，
△=4b²-12b=4b（b-3），
①當(dāng)b＞3或b＜0時(shí)，曲線y=f（x）的所有切線中與直線y=

1

b

x+1的垂直的有2條；
②當(dāng)b=3時(shí)，曲線y=f（x）的所有切線中與直線y=

1

b

x+1的垂直的有1條；
③當(dāng)0＜b＜3時(shí)，曲線y=f（x）的所有切線中與直線y=

1

b

x+1的垂直的有0條．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值的性質(zhì)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．