Question

12．已知函數(shù)f（x）=2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$cos2x，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，從而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的解析式以及三角函數(shù)的周期性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（Ⅲ）化簡g（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得g（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2cos²x-1=cos2x，∴f（$\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=2cos²x-1=cos2x 的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅲ）∵g（x）=f（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$cos2x=cos2（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$cos2x=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故g（x）的值域為[-2，2]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．