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【題目】在所有棱長都相等的三棱柱中，.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1) 連,,取線段的中點,連接和,再證明平面即可.

(2)根據(1)可知是二面角的平面角,進而找到與平面所成角再求解即可.或者建立空間直角坐標系,利用空間向量求解線面角的方法求解.

（Ⅰ）連,,取線段的中點,連接和,

∵和為等邊三角形,

∴,,

又,∴平面,

∴.

（Ⅱ）法一：∵,,

∴是二面角的平面角,

∵平面,∴平面平面,

記與的交點為,過作于,則平面,

∴是與平面所成角.

由題意知為的重心,,

∴,,

∴,∴,

∴.

法二：由,以為軸,為軸,過點平面的垂線為軸,如圖建立空間直角坐標系,得

,,,,,,

則,,,

設平面的法向量,

則,得,令得,,

則.

設與平面所成角為,

,

所以與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖所示,使電路接通,開關不同的開閉方式有( )

A. 11種B. 20種

C. 21種D. 12種

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【題目】已知函數.

（1）當時，判斷在上的單調性并加以證明；

（2）若，，求的取值范圍.

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【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量(單位：t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數據進行了研究，發(fā)現年宣傳費x(萬元)和年銷售量y(單位：t)具有線性相關關系，并對數據作了初步處理，得到下面的一些統計量的值.

(1)根據表中數據建立年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程；

(2)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為，根據(1)中的結果回答下列問題：

①當年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預報值是多少?

②估算該公司應該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.

附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

參考數據：.

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【題目】已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（－，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點N的坐標為（3，2），點P的坐標為（m，n）（m≠3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關系式.

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（m為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，直線與曲線C交于M，N兩點.

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）求|MN|.

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【題目】已知斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，且線段的中點為，橢圓的上頂點為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設直線與橢圓交于兩點，若直線與的斜率之和為2，證明：過定點.

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【題目】如圖，在四棱錐中，側面是等邊三角形，且平面平面，為的中點，,，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）直線上是否存在點，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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【題目】已知函數．

（1）求函數的極值；

（2）若函數在上是單調遞增函數，求實數的取值范圍．

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