設函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在非零實數(shù)l使得對于任意x∈M(M⊆D),有x+l∈D,且f(x+l)≥f(x),則稱f(x)為M上的“l(fā)高調函數(shù)”.現(xiàn)給出下列命題:
①函數(shù)f(x)=2x為R上的“1高調函數(shù)”;
②函數(shù)f(x)=sin2x為R上的“A高調函數(shù)”;
③如果定義域為[-1,+∞)的函數(shù)f(x)=x2為[-1,+∞)上“m高調函數(shù)”,那么實數(shù)m的取值范圍是[2,+∞);
其中正確的命題是________.(寫出所有正確命題的序號)
①②③
分析:①函數(shù)f(x)=2x為增函數(shù),存在正實數(shù)l使得對于任意x∈M(M⊆D),有x+l∈M,且f(x+l)≥f(x),滿足高調函數(shù)定義;
②由正弦函數(shù)知函數(shù)f(x)=sin2x為R上的π高調函數(shù);
③函數(shù)f(x)=x2為[-1,+∞)上m高調函數(shù),只有[-1,1]上至少需要加2.
解答:對于①,函數(shù)f(x+l)=2x+l,f(x)=2x,
要使f(x+l)≥f(x),需要2x+l≥2x恒成立,只需l≥0;
即存在l使得f(x+l)≥f(x)在R恒成立,
∴函數(shù)f(x)=2x是R上的1(l≥0)高調函數(shù),故①正確;
對于②,∵sin2(x+π)≥sin2x,
∴函數(shù)f(x)=sin2x為R上的π高調函數(shù),故②正確;
對于③,∵如果定義域為[1,+∞)的函數(shù)f(x)=x2為[-1,+∞)上m高調函數(shù),
只有[-1,1]上至少需要加2,實數(shù)m的取值范圍是[2,+∞),故③正確,
綜上,正確的命題序號是①②③.
故答案為:①②③
點評:此題屬于新定義的題型,涉及的知識有:函數(shù)單調性的判斷與證明,以及基本初等函數(shù)的性質,其中認真審題,弄清新定義的本質,找到判斷的標準是解本題的關鍵.屬于中檔題