Question

已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，且其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列的第二、三、四項(xiàng)．

（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

（2）令數(shù)列滿足：＝ ，求數(shù)列的前101項(xiàng)之和；

（3）設(shè)數(shù)列對(duì)任意，均有＋＋ ＋＝成立，求的值．

 

Answer 1

（1）an＝2n－1；bn＝3n-1（2）5151＋；（3）32014

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差求通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比求通項(xiàng)公式；注意題中限制條件；(3)若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成則求和，可以用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和然后相加減；(4)等比數(shù)列的判定方法：1)定義法：若是常數(shù)，則是等比數(shù)列；中項(xiàng)公式法：若數(shù)列中，，則是等比數(shù)列；通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成；(5）熟記等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，，注意利用性質(zhì)把數(shù)列轉(zhuǎn)化，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和；

試題解析：（1）由題意得：(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2 (d＞0)，

解得d＝2，∴an＝2n－1． 2分

∴b2＝a2＝3, b3＝a5＝9,∴bn＝3n?1 3分

（2）∵a101＝201，b2＝3

∴T101＝(a1＋a3＋ ＋a101)＋(b2＋b4＋ ＋b100)＝＋

＝5151＋ 6分

（3）當(dāng)n≥2時(shí)，由＝＋＋ ＋－(＋＋ ＋)＝an+1－an＝2

得cn＝2bn＝2·3n?1，

當(dāng)n＝1時(shí)，c1＝3．故cn＝ 8分

故c1＋c2＋ ＋c2014＝3＋2×3＋2×32＋ ＋2×32013＝32014． 10分

考點(diǎn)：等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及分組轉(zhuǎn)化法求和