如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為1的菱形,,底面,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),于,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)求出平面的一個(gè)法向量并證明平面;
(2)求二面角的余弦值.
(1)證明詳見(jiàn)解析;(2).
解析試題分析:這是一道應(yīng)用空間向量解決空間平行與空間角問(wèn)題的試題.(1)先確定、、的坐標(biāo),然后設(shè)出平面的一個(gè)法向量為,由確定的一個(gè)取值,最后驗(yàn)證,即可作出平面的判斷;(2)先找到的一個(gè)法向量為,然后計(jì)算,最后結(jié)合圖形,確定二面角的余弦值是,還是.
試題解析:由題設(shè)知:在中,
、、、 4分
(1) 5分
, 6分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則
令,得 8分
∵
∴平面 10分
(2)由(1)得平面的法向量,平面的一個(gè)法向量為 12分
設(shè)二面角的平面角為,則
即二面角的余弦值為 14分.
考點(diǎn):1.空間向量的解決空間平行中的應(yīng)用;2.空間向量在解決空間角中的應(yīng)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:DA1⊥ED1;
(2)若直線DA1與平面CED1成角為45o,求的值;
(3)寫(xiě)出點(diǎn)E到直線D1C距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的位置(結(jié)論不要求證明).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在圓錐PO中,已知PO=,☉O的直徑AB=2,C是的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).
求證:平面POD⊥平面PAC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,CD的中點(diǎn),計(jì)算:
(1)·.
(2)EG的長(zhǎng).
(3)異面直線EG與AC所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐PABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,E是PB上任意一點(diǎn).
(1)求證:AC⊥DE;
(2)已知二面角APBD的余弦值為,若E為PB的中點(diǎn),求EC與平面PAB所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn),且滿(mǎn)足=== (如圖(1)),將△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,連接B、P(如圖(2)).
(1)求證: E⊥平面BEP;
(2)求直線E與平面BP所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點(diǎn).
(1)求證:B1E⊥AD1.
(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)若二面角A-B1E-A1的大小為30°,求AB的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).
(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說(shuō)明理由.
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