Question

【題目】函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，求證： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：⑴先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令，討論與0的關(guān)系，從而求出函數(shù)的單調(diào)性⑵若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，則必是，得、是的二根，

∴， 給出的關(guān)系，下證，構(gòu)造新函數(shù)，證明不等式

解析： 的定義域是， ，

（1）由題設(shè)知， ，令，這是開口向上，以為對稱軸的拋物線， ，

①當(dāng)，即時(shí)， ，即在上恒成立.

②當(dāng)，即時(shí)，由得，令， ，則， .

1）當(dāng)即時(shí)， ，故在上， ，即，在上， ，即.

2）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

	+	0	-	0	+
	+	0	-	0	+
	遞增		遞減		遞增

綜上：

時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；

時(shí)， 在上單調(diào)遞增.

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，

則必是， ，則，

且在上單減，在和上單增，則，

∵、是的二根，

∴，即， ，

∴若證成立，只需證

.

即證

對恒成立，

設(shè)

，

，

當(dāng)時(shí)， ， ， ，

故，故在上單增，

故

，

∴

對恒成立，

∴.