Question

2．拋物線C頂點在原點，焦點是圓x²+y²-4x=0的圓心
（Ⅰ）求拋物線C的方程
（Ⅱ）過點P（1，1）作直線l與拋物線C相交于A、B兩點，且線段AB被點P平分，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得圓心坐標(biāo)及半徑，由$\frac{p}{2}$=2，即可求得p=4，即可求得拋物線的方程；
（Ⅱ）由題意可知，設(shè)AB的方程為x=my-m+1，代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=8x，求得m的值，從而得到AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）圓（x-2）²+y²=4，圓心F（2，0），半徑r=2，
∴$\frac{p}{2}$=2，即p=4，
∴拋物線的方程為y²=8x；
（Ⅱ）由題意可知，設(shè)AB的方程為x=my-m+1，代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=8x可得
y²-8my+8m-8=0，∴y₁+y₂=8m=2，∴m=$\frac{1}{4}$，∴AB的方程為4x-y-3=0．

點評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查圓的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，焦點弦公式，考查計算能力，屬于中檔題．