Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxsin（${\frac{π}{2}$+ωx）-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），其圖象兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（I）求ω的值；
（II）討論函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，由已知可求周期，利用周期公式可求ω的值．
（II）由（I）可得：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性分類討論即可得解．

解答 解：（I）$f（x）=\sqrt{3}sinωxcosωx-\frac{cos2ωx+1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx-1=sin（2ωx-\frac{π}{6}）-1$，
因?yàn)閳D象兩相鄰對(duì)稱軸間距為$\frac{π}{2}$，
所以T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1．
（II）由（I）可得：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）時(shí)f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)x∈[0，\frac{π}{3}）$，
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）時(shí)f（x）單調(diào)遞減，此時(shí)x∈[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$，
當(dāng)$2x-\frac{π}{6}∈[\frac{3π}{2}，\frac{11π}{6}]時(shí)f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)x∈[\frac{5π}{6}，π]$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[0，\frac{π}{3}），[\frac{5π}{6}，π]$，單調(diào)遞減區(qū)間為$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想，屬于中檔題．