Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x-1（a＞1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上的值域為[log_a，log_a]，求實數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=log_a（x²-3x+3），F(xiàn)（x）=a^{f（x）-g（x）}，其中a＞1．若w≥F（x）對?x∈（-1，+∞）恒成立，求實數(shù)w的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x-1（a＞1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴y=f（x）是y=a^x-1（a＞1）的反函數(shù)．
在y=a^x-1（a＞1）中，
∵a^x=y+1，∴x=log_a（y+1），
互換x，y，得到f（x）=log_a（x+1）．…（3分）
（Ⅱ）因為a＞1，所以f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．
所以f（x）=log_a（x+1）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上為單調(diào)遞增函數(shù)．
∵f（x）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上的值域為[log_a，log_a]，
∴f（m）=，
f（n）=log_a（n+1）=，
即m+1=，n+1=，n＞m＞-1．
所以m，n是方程x+1=，
即方程x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有兩個相異的解，
這等價于，…（6分）
解得-為所求．
故實數(shù)p的取值范圍是（-，0）． …（8分）
（Ⅲ）∵g（x）=log_a（x²-3x+3），
∴F（x）=a^{f（x）-g（x）}=
=，x＞-1．
∵，
當且僅當x=時等號成立，
∴=∈（0，]，
∴F（x）_max=F（）=，
因為w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）_max，
所以實數(shù)w的取值范圍是[，+∞）．…（13分）
分析：（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x-1（a＞1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，知y=f（x）是y=a^x-1（a＞1）的反函數(shù)．由此能求出f（x）=log_a（x+1）．
（Ⅱ）因為a＞1，所以f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．所以f（x）=log_a（x+1）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上為單調(diào)遞增函數(shù)．由此利用f（x）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上的值域為[log_a，log_a]，能求出實數(shù)p的取值范圍．（Ⅲ）由g（x）=log_a（x²-3x+3），知F（x）=a^{f（x）-g（x）}=，x＞-1．由，知F（x）_max=F（）=，再由w≥F（x）恒成立，能求出實數(shù)w的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意反函數(shù)、單調(diào)性、均值定理等知識點的合理運用．