Question

已知周期為4的函數(shù)f（x）=

2 1-x2 1-|x-2|

(-1＜x≤1)   (1＜x≤3)

．
（1）試確定方程f（x）-

x

3

=0的實數(shù)解的個數(shù)
（2）求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題即求函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

x

3

的交點的個數(shù)，在同一個坐標系中，畫出函數(shù)y=f（x）與直線y=

x

3

的圖象，數(shù)形結合可得結論．
（2）當x∈（4k-1，4k+1]，k∈z，則x-4k∈（-1，1]，由此可得此時f（x）的解析式．當x∈（4k+1，4k+3]，k∈z，則x-4k∈（1，3]，由此可得f（x）的解析式，綜合可得結論．

解答：解：（1）方程f（x）-

x

3

=0的實數(shù)解的個數(shù)，
即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

x

3

的交點的個數(shù)，
在同一個坐標系中，畫出函數(shù)y=f（x）與直線y=

x

3

的圖象，
數(shù)形結合可得，函數(shù)y=f（x）與直線y=

x

3

的交點的個數(shù)為3．
（2）當x∈（4k-1，4k+1]，k∈z，則x-4k∈（-1，1]，
f（x）=f（x-4k）=2

1-(x-4k)2

．
當x∈（4k+1，4k+3]，k∈z，則x-4k∈（1，3]，
f（x）=f（x-4k）=1-|x-4k-2|，
∴f（x）=

2 1-(x-4k)2  ，x∈(4k-1 ，4k+1] ，k∈z 1-|x-4k-2| ，x∈(4k+1 ，4k+3] ，k∈z

．

點評：本題主要考查方程根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結合、等價轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．