Question

已知向量

OP

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），

OQ

=（cosx，-1），定義f（x）=

OP

•

OQ

．
（1）求出f（x）的解析式．當(dāng)x≥0時，它可以表示一個振動量，請指出其振幅，相位及初相．
（2）f（x）的圖象可由y=sinx的圖象怎樣變化得到？
（3）若f（α）＞

2

2

且α為△ABC的一個內(nèi)角，求α的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式即可得出；
（2）利用三角函數(shù)的圖象變換法則即可得出；
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

OP

•

OQ

=（2cosx+1）cosx-cos2x+sinx-1
=sinx+cosx
=

2

sin(x+

π

4

)．
其振幅為

2

，相位為x+

π

4

，初相為

π

4

．
（2）可由y=sinx圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的

2

倍，再把曲線上所有的點向左平移

π

4

個單位，即可得y=

2

sin(x+

π

4

)的圖象．
（3）

2

sin(α+

π

4

)＞

2

2

，
∴sin(α+

π

4

)＞

1

2

，
∵α∈（0，π），
∴α+

π

4

∈(

π

4

，  

5π

4

)
∴α∈(0，  

7π

12

)．

點評：本題考查了數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的圖象變換法則、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．