Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）

• A、y²=-4x
• B、y²=4x
• C、x²=4y
• D、x²=-4y

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先假設(shè)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)A，B滿足拋物線方程將其代入得到兩個(gè)關(guān)系式，再將兩個(gè)關(guān)系式相減根據(jù)直線的斜率和線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值可求出p的值，進(jìn)而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則有y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
兩式相減得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
又因?yàn)橹本�的斜率為1，所以

y1-y2

x1-x2

=1，
所以有y₁+y₂=2p，又線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
即y₁+y₂=4，所以p=2，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵．