Question

數(shù)列{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差數(shù)列．   
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令數(shù)列{b_n}滿足b_n=lna_3n+1，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求：

ln2

T1

+

ln2

T2

+…+

ln2

Tn

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先根據(jù)條件建立關(guān)系式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出相關(guān)的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．

解答： 解：S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差數(shù)列．
則：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a2+4) 2 =3a2

解得：a₂=2
設(shè)等比數(shù)列的公比為q
則：

2

q

+2+2q=7
解得：q=2或

1

2

由于q＞1
故q=2
所以：an=2n-1
（2）令數(shù)列{b_n}滿足b_n=lna_3n+1，
bn=ln23n=3nln2
由于b_n+1-b_n=3ln2
所以{b_n}是等差數(shù)列．
記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為Tn=

n(b1+bn)

2

=

3n(n+1)ln2

2

所以：

ln2

Tn

=

ln2

3n(n+1)ln2 2

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
Sn=

ln2

T1

+

ln2

T2

+…+

ln2

Tn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

3n+3

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和．屬于基礎(chǔ)題型