Question

對于數(shù)列：，若不改變，僅改變中部分項的符號，得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列．如僅改變數(shù)列的第二、三項的符號可以得到一個生成數(shù)列．

已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項和．

⑴寫出的所有可能值；

⑵若生成數(shù)列滿足： ，求的通項公式；

⑶證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為：

．

Answer 1

（1）由已知，，，

∴                        

由于

∴可能值為．                                

（2）∵，

當時，，              

當時，

∵是的生成數(shù)列

∴；；；

∴

在以上各種組合中，

當且僅當時，才成立。

∴                          

（3）證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①時， ，命題成立。             

②假設(shè)時命題成立，即所有可能值集合為：

由假設(shè)，=        

則當，

即或

即   ∴時，命題成立      

由①②，，所有可能值集合為。

證法二：

共有種情形。

即                       

又，分子必是奇數(shù)，滿足條件的奇數(shù)共有個。                             

設(shè)數(shù)列與數(shù)列為兩個生成數(shù)列，數(shù)列的前項和，數(shù)列的前項和，從第二項開始比較兩個數(shù)列，設(shè)第一個不相等的項為第項。

由于，不妨設(shè)，則

所以，只有當數(shù)列與數(shù)列的前項完全相同時，才有。

∴共有種情形，其值各不相同。

∴可能值必恰為，共個。

即所有可能值集合為