Question

18．如圖，四邊形BCDE為矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，F(xiàn)是AD的中點．
（1）求證：AB∥平面CEF；
（2）求點A到平面CEF的距離．

Answer 1

分析 （1）連結BD，交CE于點H，連結FH，從而FH是△ABD的中位線，從而證明AB∥平面CEF；
（2）設A到平面CEF的距離為d，利用等積法進行轉化解方程V_A-CEF=$\frac{1}{3}$dS_△CEF=$\frac{1}{3}$|DE|•S_△ACF，即可得到結論．

解答 解：（1）證明：如圖，連結BD，交CE于點H，連結FH，
∵四邊形BCDE為矩形，
∴H是線段BD的中點，
又∵點F是線段AD的中點，
∴FH是△ABD的中位線，
∴FH∥AB，
又∵FH?平面CEF，AB?平面CEF；
∴AB∥平面CEF；
（2）設A到平面CEF的距離為d，
則V_A-CEF=$\frac{1}{3}$dS_△CEF=$\frac{1}{3}$|DE|•S_△ACF，
∵CF=$\sqrt{2}$，CE=2$\sqrt{5}$，EF=3$\sqrt{2}$，
∴CF⊥EF，
S_△CEF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=3，
則d=$\frac{4}{3}$，
即點A到平面CEF的距離是$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定以及點到平面的距離的計算，利用幾何體的體積法是求點到平面距離中常用的方法，屬于中檔題．