Question

6．已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$
求：（1）函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），再由正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算得答案；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{5}{2}sin2x-\frac{5\sqrt{3}（1+cos2x）}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{5}{2}sin2x-\frac{5\sqrt{3}}{2}cos2x$=$5（sin2xcos\frac{π}{3}-cos2xsin\frac{π}{3}）$
$f（x）=5sinxcosx-5\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$=$5sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由題意，解不等式$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
得$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ，（k∈Z）$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ]（k∈Z）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．