【題目】已知關于的函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為10. 設．

⑴ 求函數(shù)的解析式；

⑵ 若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

⑶ 是否存在實數(shù)，使得關于的方程有四個不相等的實 數(shù)根？如果存在，求出實數(shù)的范圍，如果不存在，說明理由.

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案見解析.

【解析】【試題分析】（1）利用，化簡后可求得.此時函數(shù)對稱軸為軸，故當時取得最大值，由此求得.進而求得.（2）將原不等式分離參數(shù)得到在上恒成立，利用換元法結合二次函數(shù)最值可求得.（3）先將原方程化為.利用換元法令，將上式變?yōu)槎魏瘮?shù)零點問題來求解.

【試題解析】

（1）∵為上的偶函數(shù)， ，

， 關于恒成立，

， 在區(qū)間上的最大值為10，

當時， 解得： ，

（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，

上式可化為在上恒成立，

令，∵，∴，則在上恒成立，

又∵當時， ，∴，即所求實數(shù)的取值范圍為

（3）方程，即，

可化為： ，

令，則，

若關于的方程有四個不相等的實數(shù)根，

則關于的方程必須有兩個不相等的實數(shù)根和，

并且，記 ，

則，

解得： ，所以，存在實數(shù)使得關于的方程

有四個不相等的實數(shù)根， 取值范圍為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ ，（a＞0）
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值．

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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖②.(注：利潤和投資單位：萬元)

(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式；

(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，ccosA+ csinA﹣b﹣a=0．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=1，求△ABC的面積的最大值．

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【題目】某化工廠擬建一個下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖，圓柱高為h，半徑為r，不計厚度，單位：米），按計劃容積為72π立方米，且h≥2r，假設其建造費用僅與表面積有關（圓柱底部不計），已知圓柱部分每平方米的費用為2千元，半球部分每平方米4千元，設該容器的建造費用為y千元．

（Ⅰ）求y關于r的函數(shù)關系，并求其定義域；
（Ⅱ）求建造費用最小時的r．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）= ，a∈R，若存在實數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）﹣b有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為 ．

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【題目】如圖， 為等邊三角形， 平面， ， ， 為的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面.

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【題目】已知圓的圓心為，且截軸所得的弦長為.

（1）求圓的方程；

（2）設圓與軸正半軸的交點為，過分別作斜率為的兩條直線交圓于兩點，且，試證明直線恒過一定點，并求出該定點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線l：x﹣2y+2m﹣2=0．
（1）求過點（2，3）且與直線l垂直的直線的方程；
（2）若直線l與兩坐標軸所圍成的三角形的面積大于4，求實數(shù)m的取值范圍．

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