已知定義在(-1,1)上的f(x)滿足:對?x,y∈(-1,1),均有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且x>0時(shí),f(x)>0,則函數(shù)y=f(x)在定義域上的奇偶性與增減性為( 。
分析:要判定函數(shù)f(x)在(-1,1)上的奇偶性,只需判定f(-x)與f(x)的關(guān)系,先令x=y=0求出f(0),然后令y=-x即可判定,最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定單調(diào)性.
解答:解:∵f(0)+f(0)=f(0)⇒f(0)=0
∴令y=-x,f(-x)+f(x)=f(0)=0⇒f(-x)=-f(x)
∴f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù).
當(dāng)-1<x<y<1時(shí),
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(
x-y
1-xy
),且
x-y
1-xy
<0,
∵x>0時(shí),f(x)>0,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),若x<0,可得-x>0,f(-x)>0,-f(x)>0,可得f(x)<0,

∴f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)<0,可得f(x)<f(y),
∴f(x)為增函數(shù),
∴f(x)為奇函數(shù)且為增函數(shù),
故選A;
點(diǎn)評:本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性性,屬于中檔題,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質(zhì),單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì).
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(1)求函f(x)在[-1,1]上的解析式;

(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性;

(3)當(dāng)λ取何值時(shí),方程f(x)=λ在[-1,1]上有實(shí)數(shù)解?

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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在(-1,1)上的解析式;

(Ⅱ)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性;

(Ⅲ)當(dāng)λ取何值時(shí),方程f(x)=λ在(-1,1)上有實(shí)數(shù)解?

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(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
(3)f(x)在x∈[m,n]上的值域?yàn)閇m,n](-1≤m<n≤1 ),求m+n的值.

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已知定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù)為奇函數(shù)..
(1)求實(shí)數(shù)b的值.
(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
(3)f(x)在x∈[m,n]上的值域?yàn)閇m,n](-1≤m<n≤1 ),求m+n的值.

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已知定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù)為奇函數(shù)..
(1)求實(shí)數(shù)b的值.
(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
(3)f(x)在x∈[m,n]上的值域?yàn)閇m,n](-1≤m<n≤1 ),求m+n的值.

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