Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=a^x-1，其中a＞0，a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式-1＜f（x-2）＜6．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x＜0時(shí)-x＞0，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和已知的解析式，求出當(dāng)x＜0時(shí)的解析式，再用分段函數(shù)表示出來(lái)；
（2）根據(jù)（1）求出的解析式，對(duì)x-2分類(lèi)討論并列出不等式組，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類(lèi)求解．

解答： 解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∵f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=a^x-1，
∴f（x）=-f（-x）=-（a^-x-1）=-a^-x+1
∴f（x）=

ax-1，x≥0 -a-x+1，x＜0

      （6分）
（2）不等式-1＜f（x-2）＜6等價(jià)于：

x-2≥0 -1＜ax-2-1＜6

或

x-2＜0 -1＜-a-x+2+1＜6

，
即

x≥2 0＜ax-2＜7

或

x＜2 -5＜a2-x＜2

，
當(dāng)a＞1時(shí)，解得

x≥2 x＜2+lo g 7 a

或

x＜2 x＞2-lo g 2 a

，
由于

log

2 a

＞0，

log

7 a

＞0，此時(shí)不等式的解集為（2-

log

2 a

，2+

log

7 a

），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得

x≥2 x＞2+lo g 7 a

或

x＜2 x＜2-lo g 2 a

，
由于

log

2 a

＜0，

log

7 a

＜0，此時(shí)不等式的解集為（-∞，2）∪[2，+∞）即R．
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（2-

log

2 a

，2+

log

7 a

）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為R．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想．