(本小題滿分13分)

設數(shù)列的前n項和為,如果為常數(shù),則稱數(shù)列為“科比數(shù)列”。

   (1)等差數(shù)列的首項為1,公差不為零,若為“科比數(shù)列”,求的通項公式;

   (2)數(shù)列的各項都是正數(shù),前n項和為,若對任意都成立,試推斷數(shù)列是否為“科比數(shù)列”?并說明理由。

解:(1)設等差數(shù)列的公差為,,因為,

,即. 

整理得,.                 ………………4分

因為對任意正整數(shù)上式恒成立,則,解得. …… 6分

故數(shù)列的通項公式是.                       …………7分

       ⑵ 由已知,當時,.因為,所以.   …………8分

時,,

兩式相減,得

因為,所以=.                    …………10分

顯然適合上式,所以當時,

于是

因為,則,

所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.

所以不為常數(shù),故數(shù)列不是“科比數(shù)列”. ……13分

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